Теория категорий и красота математики

Вот в этом замечательном подкасте широко известный в России математик и общественный деятель А.В. Савватеев сказал, что Теория категорий — это современная концепция, представляющая собой одну из вершин математики, которую вообще мало кто глубоко понимает на самом деле. Однако, как известно, запретный плод сладок, и раз в современном мире есть какая-то научная теория, которую мало кто понимает даже из профильных специалистов, то мне, как обывателю из-за этого факта стало еще интереснее ну хоть на каком-то уровне разобраться в сути этой загадочной теории.

Как сказал Кевин Хартнетт, один из авторов Quanta Magazine:

«Математика не предназначена для того, чтобы иметь священные тексты, которые могут читать только священники. В этой области нужны как брошюры, так и тома, нужны толкования в дополнение к первоначальному откровению».

Именно этим мы и займемся — доступным толкованием, то есть попробуем разобраться на доступном уровне в сложнейших вещах современной науки.

«Гений играет важную роль в развитии математики, но на самом деле знания — это результат деятельности сообщества. Настоящая цель знаний — стать достоянием сообщества, а не знаниями одного или двух человек» - Андре Жояль, канадский математик, специалист в области Теории категорий.

К счастью, не все согласны с А.В. Савватеевым. Британский математик Евгения Чен считает, что Теория категорий вполне доступна для понимания, и для её изучения совсем необязательно знать всю предшествующую математику. Более того, если верить Чен, то изучение Теории категорий перед изучением всей остальной математики способно даже облегчить вам понимание этой царицы наук. Во многом именно интервью с Евгенией Чен, а также еще несколько статей вдохнули в меня надежду и энтузиазм разобраться в Теории категорий. То, что я узнал из статей и интервью, я совместил с более формализованной информацией из справочников и учебников, а результат выдаю вам теперь здесь.

Для среднего обывателя, математика представляет собой предельную абстракцию, потому она и кажется порой такой сложной, непонятной и оторванной от реальности. Теория категорий — это своего рода абстракция от абстракции. Она кажется чрезмерно абстрактной порой даже самим математикам.

Вообще, в математике можно выделить четыре уровня абстракции, которые помогают понять, как устроены математические идеи и как они развиваются. Эти уровни — это своего рода «ступеньки», по которым мы поднимаемся от конкретных примеров к всё более общим и универсальным понятиям.

Первый уровень — это уровень конкретных объектов. Это самый «земной» уровень, где мы работаем с конкретными вещами, которые можно увидеть, потрогать или представить. Это начало математики. Например, это простой счет яблок, изображение треугольников и кругов, сложение и вычитание, необходимые, чтобы верно сосчитать сдачу в магазине. Математика этого уровня помогает описывать реальные вещи повседневной жизни.

Второй уровень — это уровень правил и свойств. На этом уровне мы начинаем замечать закономерности и правила, которые работают для многих объектов. Вместо того чтобы изучать каждое яблоко или каждый треугольник по отдельности, мы выделяем общие принципы. Здесь вместо конкретных чисел мы изучаем закономерности операций над ними (например, сложение всегда ассоциативно: (a+b)+c=a+(b+c)). Вместо конкретных фигур мы изучаем их свойства (например, все треугольники в евклидовой геометрии имеют сумму углов 180°). Вместо отдельных задач мы формулируем формулы или теоремы. На этом уровне математика становится мощнее: мы находим правила, которые работают для целых групп объектов.

Третий уровень — уровень абстрактных структур. Теперь мы переходим к ещё более общим понятиям. Мы забываем про конкретные объекты и начинаем изучать сами структуры , которые могут быть применимы ко многим разным ситуациям. Вместо чисел мы изучаем алгебраические структуры, такие как группы, кольца или поля. Например, группа — это любое множество с операцией, которая удовлетворяет определённым правилам (как та же ассоциативность). Вместо конкретных геометрических фигур мы изучаем топологические пространства. Вместо конкретных функций мы изучаем отображения между множествами. На этом уровне математика становится очень общей. Она позволяет находить связи между совершенно разными областями.

Уровень четыре — уровень категорий. Это самый высокий уровень абстракции. Здесь мы перестаём думать даже о самих структурах и начинаем изучать отношения между ними . Главное — это не то, что внутри объектов, а то, как они взаимодействуют друг с другом. Вместо изучения отдельных групп мы изучаем категорию групп. Вместо изучения топологических пространств мы изучаем категорию топологических пространств. Мы можем сравнивать разные категории через функторы — отображения между категориями. На этом уровне математика становится максимально универсальной. Она позволяет находить глубокие связи между разными областями и создавать единый язык для описания всего.

Чтобы стало понятнее и проще, можно представить, что мы изучаем не математику, а музыку. На первом уровне мы изучаем и играем конкретные ноты на пианино. На втором уровне мы замечаем, что ноты следуют определённым правилам (например, аккорды звучат гармонично). На третьем уровне мы изучаем сами системы правил (например, теорию музыкальных жанров или ритмов). На четвёртом уровне мы начинаем сравнивать разные виды искусств (музыку, живопись, литературу) через их общие закономерности. То же самое и в математике: чем выше уровень абстракции, тем шире и универсальнее наши знания.

Я не очень люблю обращаться к Википедии, потому что несмотря на полезное содержание её статей, те краткие определения, которые даются в начале, обычно очень странные и непонятные для тех, кто впервые знакомится с данным явлением. Однако с Теорией категорий всё иначе. То определение, которое дано на Википедии, как мне кажется, сформулировано очень удачно:

«Теория категорий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов».

Да, если вкратце, то именно в этом и есть суть Теории категории: смещение акцента с объекта на отношения (взаимосвязи) между объектами. На необходимость подобного смещения, кстати, намекали многие философы прошлого. Если сильно не углубляться в историю философии, то хотя бы для общего развития и расширения кругозора можно заметить, что Кант уперся в проблему непознаваемости мира (истина есть вещь-в-себя — то, что нам недоступно) во многом именно из-за того, что сосредоточился на объектах, а не взаимосвязях. Этот «недочет» подправил Гегель, предложив как раз-таки обратиться к отношениям между объектами, благодаря чему проблема непознаваемой вещи-в-себе в философии Гегеля была решена.

Теория категорий возникла как инструмент для обобщения и унификации математических структур, она предложила новый взгляд на основания математики, из-за чего некоторые увидели в ней альтернативу Теории множеств, при помощи которой математики 19 и 20 вв. пытались обосновать саму математику, но неминуемо сталкивались с теми или иными парадоксами. В 1945 году математики Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Маклейн разработали идею новой математической концепции, в основе которой лежало понятие эквивалентности вместо классического равенства (к этому еще вернемся далее). Ключевой математический объект этой концепции они назвали «категорией».

Категория — это универсальное понятие, подходящее для описания практического чего угодно в силу своей предельной абстрактности. Но сама категория — это не некий одиночный объект, подобный точке или множеству (иначе тогда зачем было бы её придумывать?). Категория — это совокупность объектов и связей между ними, называемых морфизмами, с правилами их композиции, которые позволяют описывать, как объекты взаимодействуют друг с другом. Все математические объекты относятся к определенной категории и характеризуются своими взаимосвязями и отношениями с другими объектами — морфизмами.

Почти все результаты конструктивной и интуиционистской математики, разработанной до Теории категорий, могут быть смоделированы в категориях. Стандартные теоретико-множественные понятия также нашли естественные обобщения в категориях. То есть Теория категорий органически вбирает в себя предыдущие философско-математические концепции, призванные ранее обосновать математику и дать её новый более эффективный и продуктивный инструментарий.

Можно сказать, что Теория категорий — это иной способ мышления, способ смотреть на весь мир совершенно иначе. Специалисты по Теории категорий говорят, что есть много вещей, которые мы считаем вещами, но на самом деле это отношения между вещами. Например, словосочетание «мой муж/моя жена» мы воспринимаем как объект, но его также можно воспринимать как отношение к другому человеку.

На самом деле Теория категорий изменила математику. Она разрушила границы между математическими дисциплинами, позволила продуктивно переосмыслить различные области математики. Так как Теория категорий представляет собой достаточно высокий уровень абстракции в математике, то при её помощи можно, прежде всего, глубоко переосмыслить саму математику. Как говорит Евгения Чен:

«Теория категорий — это математика математики. Помните, что математика — это не только числа и уравнения. Это то, как мы выстраиваем аргументы и как мы находим закономерности между вещами. То есть это поиск закономерностей в закономерностях и выстраивание аргументов об аргументах».

Пересматривая с более глубокой точки зрения саму математику, её устройство и основания, Теория категорий оказывается полезной, таким образом, и для логики, и, как следствие, для информатики (функциональное программирование, теория языков программирования) и даже для теоретической физики (квантовая логика, Квантовая механика и Теория струн) и нейронаук. Есть мнение, что Теория категорий может оказаться наиболее приемлемым языком для Квантовой физики.

В чем именно Теория категорий изменила математику? Да хотя бы в том, что в рамках Теории категории пересматриваются самые фундаментальные, казалось бы непререкаемые математические понятия. Например, «равенство«. Некоторые современные математики считают знак равенства изначальной ошибкой математики. Как пишет Кевин Хартнетт:

«Сообщество математиков, считающих знак равенства изначальной ошибкой математики, растет. Эти математики видят в нём лишь прикрытие, скрывающее важные сложности в отношениях между величинами — сложности, которые могли бы помочь найти решения огромного количества задач. Они хотят переформулировать математику на более свободном языке эквивалентности».

Эквивалентность — это способ сказать, что некоторые категории одинаковы «по сути», даже если их объекты и морфизмы различаются. Эквивалентность как бы говорит нам: «Несмотря на разные названия и представления, эти категории работают одинаково». Это как если бы два города имели разные улицы, но их карты были топологически одинаковыми. В то время как равенство — это строгое соотношение: либо две вещи равны, либо нет, — эквивалентность носит более гибкий характер и может принимать разные формы. Два разных города с топологическими одинаковыми картами неравны: там разные названия улиц, разные люди, у городов разная история и т.д. Но с точки зрения Теории категорий, они эквивалентны.

Если чуть более строго, то эквивалентность в Теории категорий означает, что две категории связаны такими функторами, которые сохраняют всю их структуру, делая их «по сути одинаковыми». Функтор — это «отображение между категориями», которое сохраняет их структуру, это правило, которое связывает две категории, переводя объекты и стрелки одной в объекты и стрелки другой, сохраняя их отношения.

Если можно точно сопоставить каждый элемент одного множества с элементом другого, то это сильная форма эквивалентности. Но в области математики, называемой теорией гомотопий, например, две фигуры (или геометрические пространства) эквивалентны, если можно растянуть или сжать одну из них до размеров и формы другой, не разрезая и не разрывая первой. С точки зрения теории гомотопий, плоский диск и одна точка в пространстве эквивалентны — вы можете сжать диск до точки. Однако невозможно сопоставить точки на диске с точками в точке. В конце концов, на диске бесконечное количество точек, а точка — это всего лишь одна точка. Некое смысловое сходство с этим явлением имеет и знаменитая теорема Пуанкаре, доказанная Перельманом, которая говорит о топологической эквивалентности определенных трёхмерных многообразий сфере.

И всё-таки важно отметить, что Теория категорий не отбрасывает и не отрицает равенство, а как бы дополняет и углубляет это понятие через эквивалентность.

Большой проблемой для математики всегда были бесконечности. Математика научилась с ними эффективно работать, однако многие проблемы, не мешающие практике, но делающие неполной теорию, так и не были решены. Голландский математик Брауэр и вовсе предлагал отказаться от логического закона исключенного третьего в связи с тем, что, по мнению Брауэра, этот закон перестает работать, когда мы имеем бесконечное количество вариантов, из которых идет поиск истинного путем перебора. Бесконечность — это вообще такое понятие, которое кружит головы как математикам, так и обывателям. Говорит ли что-то Теория категорий о бесконечностях?

В 2006 году математик Джейкоб Лурье опубликовал черновик теории высших топосов на сайте arxiv.org. В этой масштабной работе он создал механизм, необходимый для замены Теории множеств новым математическим фундаментом, основанным на категориях бесконечности. Затем, в 2011 году, Лурье продолжил эту работу, создав ещё более объёмный труд. В нём он заново открыл алгебру. Простым смертным для таких научных трудов обычно требуется вся жизнь. Собственно такие исследования, как правило, и становятся делом всей жизни. Для Лурье же это была работа всего нескольких лет. Работы Лурье стали революционными для математического мирового сообщества.

В Теории категорий есть различные категории, содержащие объекты, которые могут быть бесконечными. Например:

Теория категорий не зацикливается на внутренней структуре этих объектов, а рассматривает их через морфизмы (их взаимодействия и отношения). Это позволяет работать с бесконечными объектами без необходимости детально описывать их внутреннее устройство. И это лишь несколько примеров, малая часть. На самом деле у Теории категорий весьма широкий арсенал для эффективной и продуктивной работы с бесконечностями. Теория категорий предполагает более абстрактное понимание бесконечности, чем другие традиционные подходы. Вместо того чтобы задавать вопросы о «размере» или «количестве» элементов, она фокусируется на структуре отношений.

Можно было бы подумать, что Теория категорий — это метаматическая система. Однако это не так. Теория категорий пересекается с метаматематикой, но не ограничивается ею. Она является метаматематическим инструментом, когда используется для изучения оснований математики, унификации различных теорий или анализа логических систем, но она также остаётся частью математики, когда изучаются конкретные категории, функторы и их свойства. Таким образом, Теорию категорий можно рассматривать как универсальную гибридную дисциплину, которая одновременно является частью математики и представляет собо�� совокупность методов для метаматематических исследований.

Итак, я думаю, понятно, почему в названии моей статьи присутствуют слова «Теория категорий», но причем здесь «красота математики»? Теория категорий делает математику еще более величественной, обоснованной и стройной. Её абстракция — это скорее не пустота, а чистота. Бертран Рассел однажды сказал:

«Правильный взгляд на математику приводит не просто к истине, а к совершенной красоте — холодной и строгой, как скульптура; отстранённой от человеческих слабостей; лишённой вычурных уловок живописи и музыки — величественной кристальности, являющей совершенство высочайшего из искусств. Прикосновение к ней — неописуемый восторг; экстаз, освобождающий от бренной человеческой оболочки и сравнимый только с поэзией. <…> Реальная жизнь для большинства людей — <…> это вечный компромисс между идеальным и возможным; но мир чистого разума не знает компромиссов, никаких практических ограничений, никаких препятствий для творческой деятельности, воплощающей в великолепных зданиях страстное стремление к совершенству, из которого проистекает вся великая работа. Поколения, далёкие от человеческих страстей, далёкие даже от жалких фактов природы, постепенно создали упорядоченный космос, где чистая мысль может существовать естественно, словно в своём родном доме, и где человек, по крайней мере человек, наделённый благородными порывами, может укрыться от унылого изгнания реального мира».

Когда он это произнес, Теории категорий еще не было. Но вот что сказала Евгения Чен спустя чуть более, чем 100 лет после Б. Рассела:

«Когда я впервые познакомилась с Теорией категорий, это было похоже на возвращение домой или обретение дома, о котором я всё это время мечтала».

Некоторые люди считают, что в силу высочайшей степени абстракции, математика — это не столько наука, сколько искусство. Но я же считаю, что одно другому не мешает.

Это мой научно-философский проект, а это место, где я преподаю. Присоединяйтесь: будем дружить, общаться, обмениваться знаниями и идти в ногу со временем!